Unión 

Si A y B son dos conjuntos no vacíos, se define la unión entre A y B como el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B; es decir, en la unión de los conjuntos deben aparecer todos los elementos que pertenezcan a A o que pertenezcan a B. Simbólicamente y utilizando algunos conectivos lógicos de los que vimos en la unidad anterior de lógica, la unión se define así: 

A U B = {x / x ∈A v x ∈B}

 Donde el símbolo "v" se lee "o" y es sacado de la lógica proposicional para relacionarlo directamente con la unión en la teoría de conjuntos, por lo que en el futuro cuando observes este símbolo "v" lo puedes relacionar inmediatamente con la unión de conjuntos. 

Caso 1.

 Que los conjuntos no tengan ningún elemento en común. (Conjuntos disyuntos). A: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} B: {a, b, c, d, e} Es claro que estos conjuntos son disyuntos porque no tienen ningún elemento que esté en ambos conjuntos al mismo tiempo; por lo tanto:

 A U B: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, a, b, c, d, e} 

Caso 2. 

Que los conjuntos tengan sólo unos elementos en común. A: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B: {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, En este caso se deben seleccionar todos los elementos que están en ambos conjuntos pero escribiendo una sola vez los elementos que están al mismo tiempo en ambos conjuntos; por lo tanto: 

A U B: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Intersección

 Se define la intersección entre dos conjuntos A y B como el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al mismo tiempo al conjunto A y al conjunto B. Simbólicamente la intersección se expresa así:

 A ∩B = {x / x ∈A ʌ x ∈B} 

El símbolo "∩" se lee intersección y el símbolo "ʌ" se lee y, siendo sacado de la lógica proposicional y en adelante se encontrará relacionado siempre con la intersección de conjuntos. La intersección también se puede ver según algunos casos: 

Caso 1. 

Que los conjuntos no tengan ningún elemento en común. (Conjuntos disyuntos). A: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} B: {a, b, c, d, e} En este caso no existe algún elemento que pertenezca a los dos conjuntos al mismo tiempo; por lo tanto: 

A ∩B: {} 

Caso 2. 

Que los conjuntos tengan sólo unos elementos en común.

 A: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}    B: {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19)      En este caso se seleccionan los elementos comunes en los dos conjuntos y ese es nuestro conjunto intersección, por lo tanto:

 A ∩B: {1, 3, 5, 7, 9} 

Caso 3. 

Que un conjunto este contenido en el otro.  A: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}    B:{4, 5, 6, 7}      Según la definición de intersección se deben seleccionar los elementos comunes que para este caso son todos los pertenecientes al conjunto menor, por lo tanto: 

A ∩B: B

Diferencia 

Según los tres casos estudiados, se puede afirmar que al comparar dos conjuntos no vacíos, puede suceder que: No tengan ningún elemento en común, (conjuntos totalmente diferentes). Sólo algunos elementos sean comunes, (conjuntos parcialmente diferentes o parcialmente iguales) Un conjunto este contenido en el otro. Tengan exactamente los mismos elementos, (conjuntos iguales) En los tres primeros numerales se puede formar un conjunto con los elementos que le faltan a un conjunto para ser igual a otro, este conjunto así formado, se denomina diferencia entre conjuntos; también se puede decir que la diferencia entre conjuntos se compone de los elementos que tiene uno conjunto pero no tiene el otro. 

Si A y B son dos conjuntos no vacíos, entonces se define la diferencia entre A y B así:

 A - B = {x / x ∈A, ʌ, x ∉B}; 

es decir, todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B 

Caso 1. 

Que los conjuntos no tengan ningún elemento en común. (conjuntos disyuntos). 

 A = {1,2,3,4} B = {5,6,7}  Aquí los elementos que le faltan a B para llegar a ser A o los elementos que tiene A que no tiene B, serían todos los elementos del mismo A y por lo tanto 

A - B = A = {1,2,3,4} 

De la misma forma, los elementos que le faltan a A para llegar a B o que tiene B que no tiene A, son todos los elementos de B y por lo tanto 

B - A = B = {5,6,7} 

Caso 2. 

Que los conjuntos tengan sólo unos elementos en común. A = {1,2,3,4,5,6} B = {5,6,7} Como los elementos que tiene A que no tiene B son numerables entonces

 A - B = {1,2,3,4} Como los elementos que tiene B que no tiene A es uno solo, entonces B - A = {7} 

Caso 3. 

Que un conjunto este contenido en el otro. A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {5,6,7} 

A - B = {1,2,3,4}

En este caso se puede observar que al conjunto A no le falta nada para llegar a ser el conjunto B, antes le sobran elementos, por lo tanto: 

B - A = { } 

Complemento de un conjunto: 

El complemento A´ de un conjunto A son todos los elementos que pertenecen al conjunto universal U pero no perteneces a A

Ejemplo:  U: {x/x es un dígito menor que 8} 

A: {x/x es un dígito par menor que 8} 

A´: {1,  3, 5, 7} 

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Determina los conjuntos por extensión

2. Encuentra: A-B, AUB, A∩B, B-A, A´ y B´

3. Luego elabora su respectiva gráfica o diagrama de Venn.

a.  U: {x/x es un numero natural menor que 10}       A: {x/x es un número natural impar menor que 11}      B: {x/x es un número primo menor que 10}

b.    Determine por extensión los siguientes conjuntos:

U: {x/x es un día de la semana}   A: {x/x es un día de la semana cuyo nombre termina en s}     B: {x/x es un día de la semana cuyo nombre empieza por M}

3. Dados los conjuntos U: {x/x es un número natural menor que 14}        A: {x/x es un número natural par mayor que 4 y menor que 10}         B: {x/x es un número natural par menor que 13}           C: {x/x es un número natural impar menor que 9} D: {x/x es un número primo igual o menor que 11}    

Determina 

a. (AUB)´     b. A-B     c. D´   d. (A-B)´  e. (C∩B)´